1.3 Взаимная индукция. Коэффициент связи.

Магнитное поле вокруг отдельного проводника создается протекающим по нему током. Следовательно, и полный магнитный поток Y _L будет связан с собственным током проводника i

Коэффициент L , связывающий между собой ток и потокосцепление, называется коэффициентом самоиндукции или индуктивностью цепи. Очевидно, что он зависит от геометрической формы и размеров цепи, а также от свойств среды, в которой она находится, т.е. L=F(g₁, g₂,...g_n, m ) , где g_k - это некоторые геометрические параметры, а m - магнитная проницаемость.

Индуктивность измеряется в генри (Гн=Вб/А).

Любое изменение Y _L по закону электромагнитной индукции должно приводить к появлению ЭДС

ЗАДАЧА 1

Если вблизи проводника или катушки с током расположить другой проводник или катушку, то часть магнитного потока первой катушки Y ₂₁ будет сцепляться со второй (рис. 1). Величина этого потока определяется геометрическими параметрами второй катушки, ее расположением относительно первой, а также магнитными свойствами окружающей среды, т.е. Y ₂₁ = M₂₁i₁. В этом выражении коэффициент M₂₁ называется коэффициентом взаимной индукции или взаимной индуктивностью и по смыслу аналогичен индуктивности L .

При изменении потока взаимной индукции Y ₂₁ во второй катушке будет наводиться ЭДС взаимной индукции

Если принять, что в первой катушке ток отсутствует, а протекает во второй, то вторая катушка создаст поток взаимной индукции Y ₁₂ = M₁₂i₂, связанный с ее током, и изменение этого потока будет наводить в первой катушке ЭДС

Взаимные индуктивности M₁₂ и M₂₁ всегда равны и в них можно опустить индексы :

В общем случае наличия токов в обеих катушках потоки взаимной индукции могут по разному ориентироваться по отношению к собственным потокам катушек. Если обозначить полное потокосцепление первой катушки через Y _1F, то его можно представить тремя слагаемыми

здесь Y ₁₁ - часть потока первой обмотки, сцепляющаяся только с ней; Y ₁₂ - вторая часть потока первой обмотки, сцепляющаяся с ней и со второй обмоткой ; Y ₂₁ - часть потока второй обмотки, сцепляющаяся с первой. Положительный знак составляющей Y ₂₁ соответствует согласному направлению потоков первой и второй катушек, а отрицательный - встречному.

Аналогично для второй катушки

Y 2F = Y 22+ Y 21± Y 12 = Y 2 ± Y 12 =L2i2 ± Mi1.

(8)

По закону электромагнитной индукции определим ЭДС первой и второй катушек с помощью выражений (7) и (8)

(9)

Таким образом, в каждой катушке магнитный поток наводит ЭДС, имеющие две составляющие. Первая связана с той частью потока, которая создается собственным током катушки. Эта часть ЭДС всегда положительна и называется ЭДС самоиндукции. Вторая часть ЭДС называется ЭДС взаимной индукции .Она наводится той частью магнитного потока, которая создается другой катушкой. ЭДС взаимной индукции может быть положительной или отрицательной в зависимости от взаимной ориентации магнитных потоков обеих катушек. Соответственно положительной или отрицательной может быть взаимная индуктивность M . Значение M считают положительным, если при произвольно выбранных положительных направлениях токов в катушках потоки взаимной индуктивности совпадают по направлению с потоками самоиндукции.

Значение M может быть также переменным, например, в системе из двух цилиндрических катушек, одна из которых может поворачиваться относительно оси, расположенной в плоскости другой (рис. 2). Такие катушки называются вариометром. В этом случае взаимная индуктивность изменяется в функции угла a между нормалями к плоскостям катушек

M = M_maxcosa

и принимает любые значения в пределах от -M_max до +M_max. Максимальное значение M соответствует совпадению направлений нормалей, а при повороте на ± 90° взаимная индуктивность становится равной нулю. В режиме непрерывного вращения a = w t и взаимная индуктивность становится гармонической функцией времени M = M_maxcosw t.

---

Если вторую катушку на рис. 1 замкнуть накоротко, то в ней будет протекать ток i₂ под действием ЭДС взаимной индукции. Положим равными нулю сопротивления обеих катушек. Тогда в контуре второй катушки ЭДС взаимной индукции будет уравновешиваться ЭДС самоиндукции, т.е. e_2L+ e_2M = 0.

В контуре первой катушки ЭДС источника питания e₁ уравновешивает обе составляющие ЭДС индукции

Индуктивность L'₁ всегда положительна, поэтому

называется коэффициентом связи двух цепей. Его значение всегда положительно и меньше единицы. Теоретически он может быть равным единице, но это возможно только при полном слиянии двух катушек, при котором они перестают существовать как отдельные цепи. Положительное значение k во втором равенстве выражения (13) на первый взгляд противоречит возможности отрицательных значений M . Однако это кажущееся противоречие, возникающее при формальном преобразовании числителя, и несуществующее в первом равенстве.

ЗАДАЧА 2

То, что коэффициент связи всегда меньше единицы легко доказать, пользуясь выражениями (7) и (8). Из них следует, что

 ,

 что и подтверждает принятое ранее условие k<1.

Из выражения (13) следует, что должно соблюдаться соотношение |M|<L₁<L₂ или L₁<|M|<L₂, т.е. взаимная индуктивность может быть либо меньше индуктивностей обеих катушек, либо меньше одной из них. Второе условие означает, что при значительной разнице числа витком катушек w1<<w2 поток взаимной индукции может оказаться больше потока самоиндукции катушки с меньшим числом витков.