2.3 Эквивалентные преобразования электрических цепей.

Последовательное соединение - это совокупность связанных элементов электрической цепи, не имеющая узлов.

Падение напряжения между точками a и b рис. 1 можно представить разностью потенциалов этих точек U_ab = j _a - j _b . Формально в эту разность можно включить произвольное число значений потенциалов (например, потенциалов точек соединения элементов) с противоположными знаками, а затем попарно объединить их -

Последовательное соединение элементов обладает свойством коммутативности, т.е. любые элементы этого соединения могут произвольно переставляться в пределах соединения. Это свойство непосредственно следует из коммутативности слагаемых выражений (1).

Так как эквивалентное сопротивление R представляет собой сумму положительных слагаемых, то R > r_max, где r_max - наибольшее из сопротивлений, входящих в соединение.

Если последовательное соединение подключено к узлам электрической цепи, то его определение тождественно определению ветви, следовательно, ветвь может быть образована только последовательным соединением.

ЗАДАЧА 1

Параллельное соединение элементов - это совокупность элементов электрической цепи, объединенных двумя узлами и не имеющих связей с другими узлами.

В параллельное соединение элементов в общем случае могут входить резисторы и
источники тока (рис. 2), но не может входить более одного источника ЭДС, т.к. это противоречило бы их свойству создавать на выходе разность потенциалов не зависящую от внешней цепи.

Все элементы в параллельном соединении подключены к двум узлам и падение напряжения между этими узлами одинаково для всех элементов.

Общий ток, протекающий через параллельное соединение I можно представить суммой токов в отдельных элементах в виде I = I₁+I₂+...+I_n -J₁+J₂+...+J_m. Отсюда, раскрывая токи через сопротивления через напряжение между узлами U, получим

I = Ug1+Ug2+...+Ugn -J1+J2+...+Jm= =U(g1+g2+...+gn) -(J1+J2+...+Jm)=UG+J

(2)

Таким образом, параллельное соединение любого количества элементов можно преобразовать к параллельному соединению одного эквивалентного резистора и одного источника тока. Причем, сопротивление эквивалентного резистора равно величине обратной сумме всех проводимостей резисторов входящих в соединение, а ток эквивалентного источника равен алгебраической сумме токов источников входящих в соединение.

Аналогично последовательному соединению, параллельное обладает свойством коммутативности, вытекающим из свойства коммутативности сумм выражений (2).

При параллельном соединении для эквивалентной проводимости G, являющейся суммой проводимостей отдельных элементов, справедливо отношение G > g_max, где g_max - наибольшая из проводимостей элементов, образующих соединение. Отсюда G=1/R > g_max=1/r_min Ю R < r_min, т.е. эквивалентное сопротивление резисторов, входящих в параллельное соединение меньше наименьшего из них r_min.

Понятие сопротивления более привычно и употребимо, чем эквивалентное ему понятие проводимости. Поэтому при параллельном соединении приходится решать задачу определения именно эквивалентного сопротивления. Для двух, трех и четырех соединенных параллельно резисторов эквивалентные сопротивления R приведены в таблице 1. Для большего числа сопротивлений нетрудно получить аналогичные выражения из соотношений, приведенных на рис. 2.

ЗАДАЧА 2

В параллельное соединение могут входить не только элементы, но и ветви, каждая из которых может быть последовательным соединением элементов (рис. 3 а)). В этом случае используется понятие параллельного соединения ветвей, под которым понимают совокупность ветвей электрической цепи, объединенных двумя узлами и не имеющих связей с другими узлами.

На рис. 3 а) ветви R₁R₂ и R₃ соединены параллельно, но элементы R₁R₃ и R₂R₃ параллельного соединения не образуют, т.к. эти пары элементов не объединены двумя узлами. Очевидно, что для них не выполняется и условие равенства падений напряжения.

ЗАДАЧА 3

Схемы цепей рис. 3 относят обычно к смешанному соединению, понимая под ним совокупность последовательного и параллельного соединений элементов и ветвей цепи.

Можно показать, что любую электрическую цепь путем поэтапных преобразований соединений элементов можно привести к последовательному соединению R-E или эквивалентному параллельному соединению G-J . Этот метод позволяет решать довольно сложные задачи и особенно эффективен, если требуется определить режим в какой-либо отдельной ветви цепи. Пример таких преобразований приведен на рис. 4.

Собственно, методика заключается в том, что до начала эквивалентных преобразований в цепи нужно заменить все источники ЭДС и тока их эквивалентными сопротивлениями, а затем определить эквивалентное сопротивление. Как известно, сопротивление источника ЭДС равно нулю, а сопротивление источника тока - бесконечности. Поэтому на электрической схеме источники ЭДС нужно заменить связью, а источники тока - разрывом цепи. Рассмотрим этот процесс на примере рис. 5, где точка разрыва цепи, относительно которой нужно определить входное сопротивление, помечена крестиком.

Вначале заменим источники их эквивалентными сопротивлениями и изобразим разрыв в явном виде точками a и b (рис. 5 б)). Теперь задача становится очевидной, т.к. цепь от точки a к точке b представляет собой последовательное соединение R₁ и R₃ .

ЗАДАЧА 4