3.2 Пассивные элементы электрической цепи.

Электрическая цепь переменного тока, так же как и цепь постоянного тока, содержит проводники, по которым перемещаются электрические заряды. Количество зарядов, проходящих через сечение проводника в единицу времени называется величиной электрического тока. Она зависит от физических свойств и геометрических размеров проводника, а также от разности потенциалов. Связь между этими величинами называется законом Ома.

где u и i - падение напряжения и ток, а r = 1/g и g = 1/r - постоянные коэффициенты, называемые сопротивлением и проводимостью данного участка.

Величина сопротивления определяется коэффициентом, зависящим от свойств проводящей среды и называемым удельным сопротивлением r , а также длиной l и площадью поперечного сечения s участка, в виде r = r l/s. Сопротивление измеряют в омах [Ом] , а обратную ему величину проводимость g в сименсах [См].

Пусть ток в цепи с сопротивлением r изменяется по закону i_r = I_msin(wt+y_i). Тогда в соответствии с выражением (1) падение напряжения в ней будет

Отсюда следует, что начальные фазы тока и напряжения на этом участке одинаковы y_i = y_u , а амплитуда напряжения равна U_m = rI_m. Временные диаграммы, соответствующие выражению (2) приведены на рис. 1 а). Там же показано изображение сопротивления на электрических схемах с условно положительными направлениями тока и напряжения.

Амплитудные и действующие значения синусоидальных величин связаны между собой постоянным коэффициентом, поэтому для действующих значений тока и напряжения на сопротивлении можно написать U = rI или I = U/r = gU .

Синусоидальные функции выражения (2) можно заменить комплексными числами

Падение напряжения, вызванное протеканием тока, возникает на всех участках электрической цепи. Однако при расчетах его принято изображать отдельным элементом называемым сопротивлением или резистором.

ЗАДАЧА 1 

Так на любом участке электрической цепи, по которому протекает переменный ток будет действовать ЭДС самоиндукции e_L, наводимая изменяющимся во времени магнитным потоком и равная

где величина x_L=w L , имеющая размерность сопротивления, называется индуктивным сопротивлением. Амплитуда напряжения, возникающего за счет ЭДС самоиндукции, равна U_m=x_LI_m , а его начальная фаза y _u = y _i +p /2 больше начальной фазы протекающего тока на p /2, т.е. напряжение опережает по фазе ток на 90° . Временные диаграммы, соответствующие выражению (5), приведены на рис. 2 а).

Из выражения для амплитуды падения напряжения на индуктивности можно определить его действующее значение U_L=x_LI_L или действующее значение тока I_L=U_L/x_L=b_LI_L, где b_L=1/x_L называется индуктивной проводимостью.

Индуктивное сопротивление по сути своей является распределенным параметром, т.к. магнитный поток существует везде, где протекает электрический ток, и на всех участках электрической цепи будет наводиться ЭДС самоиндукции, пропорциональная соответствующему индуктивному сопротивлению. Однако на практике индуктивность всей цепи или отдельного участка считают сосредоточенной в отдельном элементе, изображаемом на схемах в виде рис. 2 а).

Выражение (5) можно представить через символические комплексные числа в виде:

где Z_L=jx_L=x_Le ^jp /2 - комплексное индуктивное сопротивление.

где Y_L=1/Z_L=1/jx_L= - jb_L =b_Le - ^jp /2 - комплексная индуктивная проводимость.

ЗАДАЧА 2

Из курса физики известно, что заряд уединенного проводящего тела q пропорционален его потенциалу u, т.е. q = Cu . Коэффициент пропорциональности C между зарядом и потенциалом называется емкостью и при неизменных геометрических размерах и свойствах среды является константой. Емкость измеряется в фарадах [Ф] . Фарада является слишком крупной величиной, поэтому для практических целей пользуются ее десятичными долями: микро-, нано- и пикофарадами (10^-6, 10^-9 и 10^-12 Ф).

Если за бесконечно малый промежуток времени dt заряд тела изменился на величину dq , то изменение потенциала за этот же интервал времени составит du=dq/C или dq=Cdu . Отнесем изменение заряда к промежутку времени, за который оно произошло. Тогда с учетом того, что электрический ток есть скорость изменения заряда, т.е. i=dq/dt, получим

Пусть напряжение на емкости изменяется во времени по синусоидальному закону u_С = U_msin(wt+y_u). Тогда из выражения (8) ток в емкости определится в виде

Произведение b_C= wC имеет размерность проводимости [1/Ом=См] и называется емкостной проводимостью. Отсюда амплитуда тока I_m=b_CU_m , а его начальная фаза y _i = y _u + p /2 . Таким образом, ток в емкости опережает падение напряжения на ней на 90° . Временные диаграммы, соответствующие этим соотношениям тока и напряжения на емкости приведены на рис. 3 а).

Пользуясь связью между амплитудными и действующими значениями, для действующих значений тока и падения напряжения на емкости можно записать I_С=b_CU_С или U_C=I_C/b_C=x_CI_C , где величина x_C=1/b_C называется емкостным сопротивлением.

Связь между напряжением и током в емкости можно представить также комплексными числами и соответствующими векторами (рис. 3 б)) в виде

где Y_C=jb_C=b_Ce ^jp /2 - комплексная емкостная проводимость.

Отсюда можно также определить комплексное падение напряжения на емкости

где Z_C=1/Y_C=1/jb_C= - jx_C = x_Ce - ^jp /2 - комплексное емкостное сопротивление.

ЗАДАЧА 3

Индуктивность L и емкость C называются реактивными элементами электрической цепи. Реактивными называются также соответствующие сопротивления и проводимости. Это связано с тем, что падение напряжения на индуктивности и ток через емкость появляются только как следствие или реакция на изменение тока или разности потенциалов.

В резисторе падение напряжения не связано с изменением тока, поэтому его сопротивление, в отличие от реактивного, называется активным или резистивным сопротивлением.