ЛЕКЦИЯ 2
§ 1.3. Частота вращения эллиптического поля

На рис. 1.2. показаны векторы прямо и обратно вращающихся НС (F₁ и F₂), а также вектор результирующей НС (F_Р) в различные моменты времени. Из рисунка видно, что большая ось эллипса равна удвоенной сумме, а малая ось удвоенной разности намагничивающих сил F1 и F2:

a= 2(F₁ + F₂); b = 2(F₁ – F₂).

Из последнего выражения легко увидеть, что при равенстве нулю одной из НС (F₁ или F₂), поле становится круговым, а при равенстве НС друг другу (F₁ = F₂) оно превращается в пульсирующее, т.е. эллипс вырождается в линию.

Рис. 1.2. К вопросу о частоте вращения эллиптического поля

Будем фиксировать через каждые 1/8·Т прямо и обратно вращающиеся НС F₁ , F₂ и их сумму F_p. За одно и то же время векторы F₁ и F₂ каждый раз будут поворачиваться на углы ± 45º, а их сумма F_p первый раз повернется на угол g₁, второй раз на угол g₂ и т.д. Из рис. 1.2 видно, что g₁< g₂, а поскольку временные отрезки одинаковые, это означает, что F_p вращается с переменной частотой.

Следовательно, эллиптическое магнитное поле вращается с переменной угловой частотой: большей возле малой оси эллипса и меньшей возле большой оси эллипса.

Исследованиями установлено [1], что

(1.7)

где: k = (F₁ – F₂)/(F₁+ F₂) - коэффициент формы эллипса.

Рис. 1.3. Осциллограмма мгновенной скорости эллиптического поля.

Используя формулу (1.7), найдем максимальные и минимальные значения мгновенной скорости вращения эллиптического поля.

Если w₁t = 0, то sin w₁t = 0, cos w₁t = 1, w_э = kw₁, а поскольку коэффициент kменьше 1, w_э = min.

Если w₁t = p/2, то sin w₁t = 1, cos w₁t = 0, w_э = w₁/k, а поскольку коэффициент kменьше 1, w_э = max.

На рис. 1.3 показана осциллограмма мгновенной скорости вращения эллиптического поля.

Эллиптическое поле вызывает неодинаковое насыщение участков магнитной цепи (где поле больше, там и насыщение больше), неодинаковые потери в стали, неодинаковые нагревы этих участков, магнитострикционные шумы.

Задача 1.3. Определите во сколько раз ω_э.max и ω_э.min отличаются от синхронной ω_{1 ,} если F₂ = 0,5F₁?

§ 1.4. Получение кругового вращающегося магнитного поля в несимметричных двухфазных микромашинах

Эллиптическое магнитное поле станет круговым, если одна из составляющих, например F₂, будет равна 0:

(1.8)

Формула (1.8) справедлива, если:

1. F_mA= F_mB
2. cos(θ + β) = -1.

Отсюда вытекают два условия получения кругового магнитного поля в несимметричных двухфазных микромашинах:

1. амплитуды намагничивающих сил должны быть равны по величине, т.е. F_mA = F_mB = F_m;
2. сумма углов их пространственного и временного сдвига должна быть равна 180º , т. е. θ+β=180º.

Так как θ + β=180º , то в формуле (1.5) cos(θ - β) = - cos 2β или cos(β - θ) = - cos 2θ. Тогда величина круговой НС будет

(1.9)

Анализ формулы (1.9) показывает, что магнитное поле хотя и круговое, но не максимальное, если углы θ и β каждый в отдельности не равен 90º.

Задача 1.4. Определить, во сколько раз величина круговой НС при θ = 100^о и β = 80^о отличается от значения при θ = β = 90^о.

§ 1.5. Пусковые моменты несимметричных двухфазных микромашин

Известно, что пусковые моменты асинхронных и синхронных двигателей при асинхронном пуске пропорциональны квадрату фазного напряжения, т. е. M_n ~ U².

Поскольку U ≈ E = 4,44·f·w·k_об·Ф_m , то при отсутствии насыщения магнитной цепи Ф ~ F, U ~ F, следовательно, M_n = c· (F₁² - F₂² ), где c - коэффициент пропорциональности.

Подставляя (1.5), (1.6) в последнее равенство, получим:

С учетом того, что

окончательно будем иметь:

(1.10)

Следовательно, пусковой момент несимметричного двухфазного двигателя пропорционален произведению амплитуд намагничивающих сил и синусам углов их пространственного и временного сдвигов. Важно отметить, что максимум момента будет при θ = 90º и β = 90º.

§ 1.6. Метод симметричных составляющих применительно к несимметричным двухфазным микромашинам.

Для исследования несимметричных двухфазных микромашин могут использоваться различные методы.

1. Метод двух реакций. Суть метода заключается в том, что намагничивающие силы, поля и потокосцепления обмоток статора и ротора раскладываются по двум взаимно перпендикулярным осям. Метод особенно эффективен при анализе явнополюсных синхронных микромашин с неравномерным воздушным зазором.
2. Метод вращающихся полей. Он основан на представлении любой m - фазной машины суммой m однофазных машин, в каждой из которых имеются прямо и обратно вращающиеся поля.
3. Метод симметричных составляющих. По существу сводится к тому, что двухфазная несимметричная система токов или НС раскладывается на две симметричные системы: прямую и обратную, каждая из которых создает свое круговое магнитное поле, вращающееся в прямом или обратном направлении. Метод получил наибольшее признание в трудах Ю.С.Чечета и его учеников Ф.М.Юферова, Е.М.Лопухиной и др.

Подавляющее большинство современных микромашин переменного тока имеют на статоре две обмотки, сдвинутые в пространстве на 90 эл. градусов, что продиктовано стремлением получить максимальное круговое поле при минимальных токах в обмотках. Вместе с тем, редко удается сдвинуть токи в обмотках на угол, равный 90^о во времени. Поэтому на практике чаще приходится иметь дело с несимметричными временными системами токов, намагничивающих сил, магнитных потоков и т.д.

Согласно методу симметричных составляющих любую систему двух векторов А и В разных по величине, сдвинутых во времени на произвольный угол, можно разложить на две симметричные составляющие системы равных по величине векторов и сдвинутых во времени на 90º.

Рис. 1.4. Несимметричная система векторов (а) и ее симметричные составляющие (б, в, г).

Одна из симметричных систем имеет порядок чередования векторов, совпадающий с исходной, и называется прямой последовательностью, другая имеет обратный порядок чередования векторов и называется обратной последовательностью (рис. 1.4).

Выразим заданные векторы A и B через симметричные составляющие

(1.11)

Как видно из рис. 1.4, симметричные составляющие связаны между собой соотношением:

(1.12)

Подставляя (1.12) в (1.11) и решая уравнения с двумя неизвестными, получим выражения симметричных составляющих через векторы исходной системы [1]:

(1.13)

На рис. 1.5 выполнено графическое разложение несимметричной системы векторов A и B на симметричные составляющие с использованием уравнений (1.12) и (1.13).

Рис.1.5. Графическое разложение несимметричной системы векторов на симметричные составляющие

На практике при анализе двухфазных микромашин в качестве векторов A и B используют векторы НС F_A и F_B, потоков Φ_A и Φ_B , токов I_A и I_B и т.д.

Метод симметричных составляющих пригоден не только для анализа несимметричных двухфазных микромашин, но и как предельный случай несимметрии – однофазных микромашин, полагая, что ток и его симметричные составляющие в одной из обмоток, которой фактически нет, равен нулю.

Задача 1.5. Разложить графически несимметричные системы векторов на симметричные составляющие.